Том 1 №1 2015

08.01.2016

Том 1 №1 2015

Рассматриваются некоторые обобщенные функции, связанные с каноническими особенностями, играющими важную роль в теории псевдодифференциальных уравнений на многообразиях с негладким краем. Они представляют собой ядра сингулярных интегральных операторов, обратимость которых гарантирует фредгольмовость рассматриваемой краевой задачи. Исследуется случай, когда особенность вырождается, превращаясь в многообразие меньшей размерности, и делается попытка описать соответствующие обобщенные функции.

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Том 1 № 1 2015

Журнал основан в 2013 году, выходит 2 раза в год
    ГЛАВНЫЕ РЕДАКТОРЫ: В. В. Жиков (Россия), Р. Наталини (Италия)
    ЗАМ. ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА: О. А. Матевосян (Россия, Франция)
    ОТВЕТСТВЕННЫЙ СЕКРЕТАРЬ: М. Д. Сурначёв (Россия)
    РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
    Ю. А. Алхутов (Россия), Т. М. Атанакович (Сербия),
    А. Ю. Байков (Россия), Ф. Баттести (Франция), Х. Бегер (Германия),
    В. И. Богачев (Россия), В. И. Буренков (Россия), В. Б. Васильев (Россия),
    В. А. Вестяк (Россия), В. И. Власов (Россия),
    Д. В. Георгиевский (Россия), А. Дамламян (Франция),
    Г. В. Демиденко (Россия), А. Аро (Франция), А. Н. Карапетянц (Россия),
    М. И. Караханян (Армения), А. А. Коньков (Россия),
    Ж. Р. Леметр (Франция), Дж. Нордо (Италия), Е. Ю. Панов (Россия),
    А. В. Покровский (Украина), А. Л. Пятницкий (Норвегия, Россия),
    О. С. Розанова (Россия), А. П. Сейранян (Россия),
    В. Р. Хачатуров (Россия), Т. Хориучи (Япония),
    В. В. Чепыжов (Россия), М. В. Шамолин (Россия),
    Т. А. Шапошникова (Россия), А. А. Шкаликов (Россия)
    РЕДАКЦИОННЫЙ ДИРЕКТОР: С. А. Забелина (Россия)
    © Московский финансово-юридический университет МФЮА, 2015
  
The journal Applied Mathematics and Mathematical Physics (Прикладная математика и математическая физика) was founded in 2013 and is published quarterly by the Graduate School of Science at Moscow University of Finance and Law MFUA. It covers a wide range of Pure and Applied Mathematics. Research articles in the journal are selected by the Editorial Board with the aid of distinguished international referees and according to high standards.
    EDITORS-IN-CHIEF: V. V. Zhikov (Russia), R. Natalini (Italy)
    DEPUTY EDITOR-IN-CHIEF: H. A. Matevossian (France, Russia)
    EXECUTIVE SECRETARY: M. D. Surnachev (Russia)
    EDITORIAL BOARD:
    Yu. A. Alkhutov (Russia), T. M. Atanackovic (Serbia),
    A. Yu. Baikov (Russia), F. Battesti (France), H. Begehr (Germany),
    V. I. Bogachev (Russia), V. I. Burenkov (Russia),
    V. V. Chepyzhov (Russia), A. Damlamian (France),
    G. V. Demidenko (Russia), D. V. Georgievskii (Russia),
    A. Haraux (France), T. Horiuchi (Japan), M. I. Karakhanyan (Armenia),
    A. N. Karapetyants (Russia), V. R. Khachaturov (Russia),
    A. A. Kon’kov (Russia), G. R. Lemaitre (France), G. Nordo (Italy),
    E. Yu. Panov (Russia), A. L. Piatnitski (Norwey, Russia),
    A. V. Pokrovskii (Ukraine), O. S. Rozanova (Russia),
    A. P. Seyranian (Russia), M. V. Shamolin (Russia),
    T. A. Shaposhnikova (Russia), A. A. Shkalikov (Russia),
    V. B. Vasilyev (Russia), V. A. Vestyak (Russia), V. I. Vlasov (Russia)
    EDITORIAL DIRECTOR: S. A. Zabelina (Russia)

DOI: :https://doi.org/10.18262/ammp.2015.0101-01

УДК 517.95+517.983

Псевдодифференциальные уравнения, сингулярные интегралы и распределения

В.Б. Васильев

Аннотация. Рассматриваются некоторые обобщенные функции, связанные с каноническими особенностями, играющими важную роль в теории псевдодифференциальных уравнений на многообразиях с негладким краем. Они представляют собой ядра сингулярных интегральных операторов, обратимость которых гарантирует фредгольмовость рассматриваемой краевой задачи. Исследуется случай, когда особенность вырождается, превращаясь в многообразие меньшей размерности, и делается попытка описать соответсвующие обобщенные функции.

Ключевые слова: псевдодифференциальное уравнение, обобщенная функция, сингулярный интеграл.

Список литературы
1. Вишик М.И., Эскин Г.И. Уравнения в свертках в ограниченной области. УМН, 20:3 (1965), 89–152; англ. пер.: Vishik M., Eskin G. I. Equations in convolutions in a bounded region. Russ. Math. Surv., 20:3 (1965), 85–151.
2. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. Наука, М., 1973; англ. пер.: Eskin G. Boundary value problems for elliptic pseudodifferential equations. AMS, Providence, RI, 1981.
3. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Физматгиз, М., 1962; англ. пер.: Mikhlin S.G. Multidimensional singular integrals and integral equations. International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, 83, Pergamon Press, Oxford–London–Edinburgh–New York–Paris–Frankfurt, 1965.
4. Mikhlin S.G., Pr¨ossdorf S. Singular integral operators. Akademie-Verlag, Berlin, 1986.
5. Х¨ермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1–4. Мир, М., 1986–1988; пер. с англ.: H¨ormander L. Analysis of partial differential operators. V. 1–4. Springer-Verlag, Berlin, 1983.
6. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. Т. 1, 2. Мир, М., 1984; пер. с англ.: Treves F. Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators. V. 1, 2. Plenum Press, New York–London, 1982.
7. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. Мир, М., 1985; пер. с англ.: Taylor M. Pseudodifferential operators. Princeton Univ. Press, Princeton, 1981.
8. Ремпель Ш., Шульце Б.-В. Теория индекса эллиптических краевых задач. Мир, М., 1986; пер. с англ.: Rempel S., Schulze B.-W. Index theory of elliptic boundary problems. Akademie-Verlag, Berlin, 1982.
9. Boutet de Monve L. Boundary problems for pseudodifferential operators. Acta Mathematica, 126:1–2 (1971), 11–51.
10. Vasil’ev V. B. Wave factorization of elliptic symbols: theory and applications. Introduction to the theory of boundary value problems in non-smooth domains. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht–Boston–London, 2000.
11. Васильев В.Б. Регуляризация многомерных сингулярных интегральных уравнений в негладких областях. Тр. ММО, 59, Изд-во МГУ, М., 1998, 73–105; англ. пер.: Vasil’ev V.B. Regularization of multidimensional singular integral equations in non-smooth domains. Trans. Moscow Math. Soc., 59 (1998), 65–93.
12. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. Тр. ММО, 16, Изд-во МГУ, М., 1967, 209–292.
13. Васильев В.Б. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения, волновая факторизация, краевые задачи. КомКнига, М., 2010.
14. Стернин Б.Ю. Эллиптические и параболические задачи на многообразиях с границей, состоящей из компонент различной размерности. Тр. ММО, 15, Изд-во МГУ, М., 1966, 346–382.
15. Бохнер С., Мартин У.Т. Функции многих комплексных переменных. ИЛ, М., 1951; пер. с англ.: Bochner S., Martin W.T. Several complex variables. Princeton Univ. Press, Princeton, 1948.
16. Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. Наука, М., 1964.
17. King F.W. Hilbert transforms. V. 1–2. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2009.
18. Владимиров В.С. Задача линейного сопряжения для голоморфных функций. Изв. АН СССР. Сер. матем., 29:4 (1965), 807–834.
19. Владимиров В.С. Задача линейного сопряжения голоморфных функций многих комплексных переменных, в кн.: Современные проблемы теории аналитических функций. Сб. статей. Наука, М., 1966, 64–68.
20. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Наука, М., 1977; англ. пер.: Gakhov F.D. Boundary value problems, Dover Publ., New York, 1990.
21. Какичев В.А. Краевые задачи линейного сопряжения для функций, голоморфных в  бицилиндрических областях. Теория функций, функц. анализ и их прилож. (Харьков), 5 (1967), 37–58.
22. Рабинович В.С. Многомерное уравнение Винера–Хопфа для конусов. Теория функций, функц. анализ и их прилож. (Харьков), 5 (1967), 59–67.
23. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. Высшая школа, М., 1977.
24. Мальгранж Б. Сингулярные интегральные операторы и единственность задачи Коши. Сб. перев.: Математика, 6:5 (1962), 87–129; пер. с фр.: Malgrange B. Op´erateurs int´egraux singuliers unicit´e du probl´eme de Cauchy. S´eminare Schwartz, Secr´etariat math´ematique, 4-e ann´ee, 1955/1960, Paris, 1960, expos´es 1–10.
25. Касумов Н.М. Теория Кальдерона–Зигмунда для ядер с неточечными множествами особенностей. Матем. сб., 183:9 (1992), 89–104; англ. пер.: Kasumov N.M. Calderon–Zygmund theory for kernels with nondiscrete sets of singularities. Sb. Math., 77:1 (1994), 71–91.
26. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Наука, М., 1981.
27. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. Наука, М., 1979.
28. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Наука, М., 1971.
29. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Изд-во Ростовского ун-та, Ростов-на-Дону, 1984; англ. пер.: Samko S. Hypersingular integrals and their applications. CRC Press, London, 2002.
30. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. Наука, М., 1968.


Владимир Борисович Васильев
Липецкий государственный технический университет,
кафедра высшей математики
E-mail: vbv57@inbox.ru

Pseudo Differential Equations, Singular Integrals, and Distributions
V.B. Vasilyev
Abstract. One considers some distributions related to canonical singularities, which are important in the theory of pseudo differential equations on manifolds with non-smooth boundary. These are the kernels of singular integral operators, for which their invertibility implies the Fredholm property for a considered boundary value problem. In this paper one studies the case, when this singularity becomes degenerated one, and the author tries to describe the corresponding distributions.
Keywords: pseudo differential equation, distribution, singular integral.
MSC2010: 35S05, 46F10

DOI: https://doi.org/10.18262/ammp.2015.0101-02

УДК 517.574

Об устранимости множеств уровня для субгармонических функций

А.В. Покровский

Аннотация. Показано, что известное локальное условие Бляшке–Привалова, выделяющее субгармонические функции в заданной евклидовой области из множества вещественных полунепрерывных сверху функций, определенных в этой области и тождественно не равных −1, может быть заменено на множестве нулей рассматриваемой функции другим априори более слабым локальным условием того же типа. В качестве одного из следствий основного результата работы установлено, что любая функция, непрерывная в евклидовой области и субгармоническая на дополнении к множеству своих нулей, является субгармонической во всей рассматриваемой области, если в каждом своем нуле эта функция имеет полный дифференциал.
Ключевые слова: теорема Радо, субгармоническая функция, вязкостно субгармоническая функция, условие Бляшке–Привалова.

Список литературы
1. Федоров В.С. Непрерывность и моногенность. Изв. Иваново-Вознесенск. политехн. ин-та, 1 (1919), 45–56; 139–145.
2. Rad´o Т. ¨Uber eine nicht fortsetzbare Riemannsche Mannigflatigkeit. Math. Z., 20 (1924), 1–6.
3. Kr´al J. Some extension results concerning harmonic functions. J. London Math. Soc., 28:1 (1983), 62–70.
4. Kr´al J. Extension results of the Rad´o type. Rev. Roumaine Math. Pure Appl., 36 (1991), 71–76.
5. Juutinen P., Lindqvist P. Removability of a level set for solutions of quasilinear equations. Commun. Part. Differ. Equ., 30:3 (2005), 305–321.
6. Брело М. Основы классической теории потенциала. Мир, М., 1964; пер. с франц.: Brelot M. ´ El´ements de la th´eorie classique du potentiel. Centre de Documetation Universitaire, Paris, 1961.
7. Juutinen P., Lindqvist P., Manfredi J. On the equivalence of viscosoty solutions and weak solutions for a quasilinear equation. SIAM J. Math. Anal., 33:3 (2001), 699–717.
8. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. Мир, М., 1980; пер. с англ.: Hayman W.K., Kennedy P.B., Subharmonic functions. Academic Press, New York, 1976.


Андрей Владимирович Покровский
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-mail: pokrovsk@imath.kiev.ua

On the Removability of Level Sets for Subharmonic Functions
A.V. Pokrovskii
Abstract. It is shown that the well-known Blaschke–Privalov local condition selecting subharmonic functions in a given Euclidean domain fr om the set of real-valued upper semicontinuous functions, which are defined in this domain and do not equal identically −1, can be replaced on the zero locus of the function under consideration by another a priori more weak local condition of the same type. As one of the corollaries of the main result of the paper we establish that any function continuous in a Euclidean domain and subharmonic on the complement of its zero locus is subharmonic in the whole domain under consideration if this functions has a total differential at each point of its zero locus.
Keywords: Radó theorem, subharmonic function, viscosity subharmonic function, Blaschke–Privalov condition.
MSC2010: 31B05




DOI: https://doi.org/10.18262/ammp.2015.0101-03

On a System of Equations Arising in Viscoelasticity Theory of Fractional Type  

Teodor M. Atanackovi´c, Stevan Pilipovi´c, Du˘san Zoriˇca

Abstract. We study a system of partial differential equations with integer and fractional derivatives arising in the study of forced oscillatory motion of a viscoelastic rod. We propose a new approach, which considers a quotient of relations appearing in the constitutive equation instead of the constitutive equation itself. Both, a rod and a body, are assumed to have finite mass. The motion of a body is assumed to be translatory. The existence and the uniqueness for the corresponding initial-boundary value problem is proved within the
spaces of functions and distributions. (This paper is the predecessor of Chapter 4 in [1]. Here we explain main ideas.)
Keywords: fractional derivative, distributed-order fractional derivative, fractional viscoelastic material, forced oscillations of a rod, forced oscillations of a body.
MSC2010: 74H05, 35R11, 45K05

References
1. Atanacković T. M., Pilipovć S., Stanković B., Zorica D. Fractional Calculus with Applications in Mechanics: Wave Propagation, Impact and Variational Principles. Wiley-ISTE, London, 2014.
2. Atanacković T. M., Pilipović S., Zorica D. Forced oscillations of a body attached to a viscoelastic rod of fractional derivative type. Internat. J. Eng. Sci., 64 (2013), 54–65.
3. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier, Amsterdam, 2006.
4. Podlubny I. Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego, 1999.
5. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives. Gordon and Breach, Amsterdam, 1993.
6. Atanacković T.M., Budincević M., Pilipović S. On a fractional distributed order oscillator. J. Phys. A: Math. Gen., 38 (2005), 6703–6713.
7. Atanacković T.M. A generalized model for the uniaxial isothermal deformation of a viscoelastic body. Acta Mech., 159 (2002), 77–86.
8. Atanacković T. M., Pilipović S., Zorica D. Distributed-order fractional wave equation on a finite domain. Stress relaxation in a rod. Internat. J. Eng. Sci., 49 (2011), 175–190.
9. Atanacković T. M., Pilipović S., Zorica D. Distributed-order fractional wave equation on a finite domain: creep and forced oscillations of a rod. Cont. Mech. Therm., 23 (2011), 305–318.
10. Hartley T.T., Lorenzo C. F. Fractional-order system identification based on continuous order-distributions. Signal Proc., 83 (2003), 2287–2300.
11. Atanacković T.M. A modified Zener model of a viscoelastic body. Continuum Mechanics and Thermodynamics, 14 (2002), 137–148.
12. Atanacković T.M. On a distributed derivative model of a viscoelastic body. Comptes Rendus Mécanique, 331 (2003), 687–692.
13. Atanacković T.M., Konjik S., Oparnica Lj., Zorica D. Thermodynamical restrictions and wave propagation for a class of fractional order viscoelastic rods. Abstract Appl. Anal., 2011 (2011), paper ID975694, 32 pp.
14. Konjik S., Oparnica Lj., Zorica D. Waves in fractional Zener type viscoelastic media. J. Math. Anal. Appl., 365 (2010), 259–268.
15. Schiessel H., Friedrich Chr., Blumen A. Applications to Problems in Polymer Physics and Rheology, in: Hilfer R. (ed.) Applications of Fractional Calculus in Physics, World Sci., Singapore, 2000.
16. Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity. Imperial College Press, London, 2010.
17. Rossikhin Yu. A. Reflections on two parallel ways in the progress of fractional calculus in mechanics of solids. Appl. Mech. Rev., 63 (2010), paper ID010701, 12 pp.
18. Rossikhin Yu. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: Novel trends and recent results. Appl. Mech. Rev., 63 (2010), paper ID010801, 52 pp.
19. Atanacković T. M., Pilipović S., Zorica D. Time distributed-order diffuse on wave equation. I. Volterra type equation. Proc. Roy. Soc. A: Math. Phys. Eng. Sci., 465 (2009), 1869–1891.
20. Atanacković T. M., Pilipović S., Zorica D. Time distributed-order diffusion wave equation. II. Applications of the Laplace and Fourier transformations. Proc. Roy. Soc. A: Math. Phys. Eng. Sci., 465 (2009), 1893–1917.
21. Camargo R. F., Chiacchio A. O., Capelas de Oliveira E. Differentiation to fractional orders and the fractional telegraph equation. J. Math. Phys., 49 (2008), paper ID033505, 12 pp.
22. Chen J., Liu F., Liu Q., Chen X., Anh V., Turner I., Burrage K. Numerical simulation for the three-dimension fractional sub-diffusion equation. Appl. Math. Modelling, 38:15–16 (2014), 3695–3705.
23. Eidelman S. D., Kochubei A. N. Cauchy problem for fractional diffusion equations. J. Differ. Equ., 199 (2004), 211–255.
24. Hanyga A. Multidimensional solutions of time-fractional diffusion-wave equations. Proc. Roy. Soc. A: Math. Phys. Eng. Sci., 458 (2002), 933–957.
25. Kochubei A. N. Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion. J. Math. Anal. Appl., 340 (2008), 252–281.
26. Mainardi F., Mura A., Gorenflo R., Stojanovic M. The two forms of fractional relaxation of distributed order. J. Vibration and Control, 13 (2007), 1249–1268.
27. Mainardi F., Pagnini G., Gorenflo R. Some aspects of fractional diffusion equations of single and distributed order. Appl. Math. Comput., 187 (2007), 295–305.
28. Vladimirov V. S. Equations of Mathematical Physics. Mir Publishers, Moscow, 1984.


Teodor M. Atanacković
Department of Mechanics, Faculty of Technical Sciences,
University of Novi Sad, Novi Sad, Serbia
E-mail: atanackovic@uns.ac.rs

Stevan Pilipović
Department of Mechanics, Faculty of Technical Sciences,
University of Novi Sad, Novi Sad, Serbia
E-mail: stevan.pilipovic@dmi.uns.ac.rs

Du˘san Zoriča
Department of Mechanics, Faculty of Technical Sciences,
University of Novi Sad, Novi Sad, Serbia
E-mail: zorica@mi.sanu.ac.rs


DOI: https://doi.org/10.18262/ammp.2015.0101-04

УДК 519.688

Метод макрошагов для глобальной многопараметрической оптимизации мощных
Клистронов

А.Ю. Байков
Представлено А.П. Сейраняном

Аннотация. Предложен метод оптимизации КПД мощных клистронов, представленных компьютерной моделью. При постановке задачи оптимизации используется редукция исходной векторной целевой функции к двухкомпонентной или к скалярной форме на основе понятия корректности главного значения. Метод оптимизации основан на последовательном проведении циклов оптимизации (макрошагов), каждый из которых включает оптимизацию методом зондирования и методом перебора на многомерном параллелепипеде. Рассматривается применение метода для оптимизации трех клистронов с различными базовыми конструкциями. Показано, что во всех рассмотренных случаях оптимизация позволяет получить оптимальный клистрон с КПД около 90%. Рассмотрены возможности обобщения предложенного метода на более широкий класс задач.
Ключевые слова: глобальная оптимизация, многопараметрическая оптимизация, невыпуклое программирование, векторная целевая функция, КПД, клистрон.

Список литературы
1. Артюх И. Г., Байков А.Ю., Петров Д.М. Высокоэффективные пролетные клистроны. Тез. докладовМеждународной конференции, посвященной дню радио (Москва, май 1997). НТО РЭС им. А.С. Попова, М., 1997.
2. Антонова Г.М. Сеточные методы равномерного зондирования для исследования и оптимизации динамических стохастических систем. Физматлит, М., 2007.
3. Байков А.Ю. Дискретно-аналитическая модель для одной задачи динамики нелинейной среды. Вестн. Моск. финансово-юридического ун-та МФЮА, 1 (2013), 18–31.
4. Байков А.Ю. Компьютерное моделирование мощных и сверхмощных резонаторных СВЧ-приборов. Информационно-измерительные и управляющие системы, 8:4 (2010), 36–46.
5. Байков А.Ю., Ежиков В.Б. Редактируемый интерфейс ввода-вывода данных для вычислительной модели, включающей многопараметрическую оптимизацию. Вестн. Московского финансово-юридического ун-та МФЮА, 1 (2011), 173–182.
6. Байков А.Ю., Грушина О.А., Стриханов М.Н., Тищенко А.А. Математическая модель трансформации электронного пучка в узкой трубе.ЖТФ, 82:6 (2012), 90–100.
7. Байков А.Ю., Грушина О.А. Модель трансформации электронного пучка в узкой трубе и ее применение для проектирования мощных клистронов. МФЮА, М., 2013.
8. Jensen A. J. et al. Sheet beam klystron simulations using AJDISK (IVEC-2006, Monterey, CA, USA, April 2006). IEEE, 489–490.
9. Антонова Г.М., Байков А.Ю. Использование ЛПτ -поиска с усреднением для выбора параметров при синтезе мощных вакуумных резонаторных СВЧ-приборов О-типа. Тр. 5 Межд. конференции “Идентификация систем и задачи управления”. ИПУ, М., 2006, 823–837.
10. Antonova G.M., Bajkov A.Yu. LPτ -search with averaging methodology for optimizing powerful and super-power klystrons. ACIT – Signal and Image Processing (ACIT-SIP, Novosibirsk, Russia, June 20–24, 2005). ACTA Press, Novosibirsk, 2005.
11. Антонова Г.М., Цвиркун А.Д. Оптимизационно-имитационное моделирование для решения проблем оптимизациии современных сложных производственных систем. Проблемы управления, 5 (2005), 19–27.
12. Чичинадзе В.К. Решение невыпуклых нелинейных задач оптимизации. Наука, М., 1983.
13. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. Наука, М., 1973.
14. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. Наука, М., 1969.
15. Halton J.M.. Algorithm 247: Radical-inverse quasi-random point sequence. Communications of the ACM, 7:12 (1964), 701–702.
16. Байков А.Ю., Ежиков В.Б. Метод перебора с масштабированием в задачах одномерной оптимизации. Тр. конференции “Математика, информатика, естествознание в экономике и в обществе”. МФЮА, М., 2010, 53–7.
17. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: Пер. с англ., Мир, М., 1985.
18. Байков А.Ю., Грушина О.А., Стриханов М.Н. Исследование зависимости максимального КПД от коэффициента усиления в двухрезонаторных клистронах. ЖТФ, 83:4 (2013), 127–133.
19. Байков А.Ю., Грушина О.А., Стриханов М.Н. Моделирование условий достижения максимального КПД в клистронах дециметрового диапазона. ЖТФ, 84:3 (2014), 113–119.
20. Jensen E. High efficiency work in context. EnEfficient RF sources Workshop, Cockcroft Institute, UK, June 2014.


Андрей Юрьевич Байков
Московский финансово-юридический
университет МФЮА, Москва, Россия.
E-mail: baikov.a@mfua.ru, a_yu_baikov@mail.ru

Method of Macrosteps for Multiple Parameter Global Optimization of Powerful Klystrons
A.Yu. Baikov
Abstract. The method of efficiency optimization of the powerful klystrons presented by computer model is offered. The reduction of initial vector criterion function to twocomponent or to a scalar form on the basis of concept of a correctness of a principal value is used at a problem definition. The method of optimization is based on consecutive carrying out cycles of optimization (macrosteps), each of which includes optimization by a sounding method and a search method on a multidimensional parallelepiped. Method application for optimization of three klystrons with various basic designs is considered. It is shown that in all considered cases optimization allows to receive an optimum klystron with efficiency about 90%. Possibilities of generalization of the offered method on wider class of tasks are considered.
Keywords: global optimization, multiple parameter optimization, nonconvex programming, goal vector function, efficiency, klystron.
MSC2010: 78M50, 90C26

DOI: https://doi.org/10.18262/ammp.2015.0101-05

УДК 539.3

Алгоритм численного обращения преобразования Лапласа в классе обобщенных
функций, образующих алгебру со сверткой

В.А. Вестяк, Г.В. Федотенков

Аннотация. Предложена методика получения решений нестационарных задач механики с использованием численного обращения интегрального преобразования Лапласа, метода малого параметра и специальных квадратурных формул для вычисления интегралов типа свертки. Данный подход применен к решению новых актуальных нестационарных задач, возникающих при учете связности полей различной природы при электромагнитоупругих и механодиффузионных процессах, а также нестационарных связанных задач для тел и элементов конструкций, обладающих неклассическими свойствами.
Ключевые слова: нестационарные задачи, численное обращение преобразования Лапласа, метод малого параметра, квадратурные формулы.

Список литературы
1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2-х т. Наука, М., 1973; англ. пер.: Sedov L. I. Mechanics of continuous media. V. 1, 2. World Sci., River Edge, NJ, 1997.
2. Суворов Е.М., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Плоская задача об ударе твердого тела по полупространству, моделируемому средой Коссера. Прикл. матем. и мех., 76:5 (2012), 850–859; англ. пер.: Suvorov Ye.M., Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. The plane problem of the impact of a rigid body on a half-space modelled by a Cosserat medium. J. Appl. Math. Mech., 76:5 (2012), 511–518.
3. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Одномерные нестационарные волны в толстостенной электромагнитоупругой сфере. Экологический вестн. научн. Центров ЧЭС, 2011, № 4, 16–21.
4. Гойхбург Д.М., Земсков А.В., Тарлаковский Д.В. Двухкомпонентный упруго диффузионный слой под действием одномерных нестационарных возмущений. Вестн. Моск. авиационного ин-та, 20:2 (2013), 226–237.


Владимир Анатольевич Вестяк
Московский авиационный институт
(национальный исследовательский университет)
E-mail: v.a.vestyak@mail.ru
Григорий Валерьевич Федотенков
Московский авиационный институт
(национальный исследовательский университет)
E-mail: greghome@mail.ru

Algorithm for the Numerical Laplace Transform Inversion in the Class of Generalized Functions Forming an Algebra with Convolution
V.A. Vestyak, G.V. Fedotenkov
Abstract. The technique of obtaining solutions of non-stationary problems of mechanics using numerical Laplace transform invertion, a method of small parameter and special quadrature formulas for the calculation of integrals like a convolution integral is discussed. The offered approach is applicable to the solution of the new actual non-stationary tasks arising at the accounting of connectivity of fields of various nature at electromagnetoelastic, mechanodiffusive processes, non-stationary connected tasks for bodies and elements of the designs with nonclassical properties.
Keywords: non-stationary problems, numerical inversion of Laplace transform, small
parameter method, quadrature formulas.
MSC2010: 76E05


DOI: https://doi.org/10.18262/ammp.2015.0101-06

Elasticity Theory of Thin Plates and Active Optics. Solutions for Generating Toroid Surfaces with Vase Forms

G´erard R. Lemaitre

Abstract. The elasticity theory of thin plates is applied to appropriate mirror thickness distributions and external load configurations for generating optical aberration mode corrections. From the analysis and an experiment, it has been shown that the formulation of the net shearing force of this theory, as found in the classical literature, must be corrected as presented in this paper. The new formulation was validated and applied to meniscus form and vase form mirrors generating the correction of third-order astigmatism. Geometrical designs based on vase form thickness distributions also allow obtaining diffraction-limited deformations with a reduced set of four perimeter forces only. These active optics configurations, which show two concentric zones of constant thickness, are useful solutions to generate astigmatism corrections by a saddle-like flexure on flat or spherical surfaces – with glass or metal substrates – providing hyperbolic-paraboloid or toroid shapes respectively.
Keywords: elasticity theory, active optics, toroid surfaces, aspheric mirrors, optical aberrations.
MSC2010: 74-02, 74A99, 74B05, 78A05, 85-02

References
1. Lemaitre G.R. Astronomical optics and elasticity theory – active optics methods. Springer, Berlin, 2010.
2. Lemaitre G.R. Compensation des aberrations par élasticité. Nouv. Rev. Opt., 5-6 (1974), 361–366.
3. Kirchhoff G.R. Uber das gleichewicht und die bewegung iener elastischen scheibe. J. Crelle, 40 (1850), 51–88.
4. Kirchhoff G.R. Vorlesungen über mathematische physik: Mechanik. Teubner, Leipzig, 1877.
5. Lemaitre G.R. Active optics: Vase or meniscus multimode mirrors and degenerated monomode configurations. Meccanica, 40:3 (2005), 233–249.
6. Lubliner J., Nelson J.E. Stress mirror polishing. Appl. Opt., 19:14 (1980), 2332–2340.
7. Timoshenko S.P., Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells. McGraw-Hill, New York, 1959.
8. Reissner E. Stresses and small displacements of shallow spherical shells. I. II. J. Math. Phys., 25 (1946), 80–85; 279–300.
9. Landau L.D., Lifshitz E.M. Theory of elasticiy. Pergamon Press, Oxford, 1970; transl. from Rus.: Théorie de l’Elasticité, Mir, M., 1967.
10. Clebsch A.R. F. Theorie der elasticität fester Körper. B.G. Teubner, Stuttgart, 1862; French transl.: de Saint-Venant B.A. J.-C., Flamant A. Théorie de l’Elasticité des Corps Solides, Dunod, Paris, 1883.
11. de Saint-Venant B.A. J.-C. Mémoire sur la Torsion des Prismes. Mémoire des Savants Étrangers Acad. Sci. Paris, 14 (1855), 233–560.
12. Germain P., Mulller P. Introduction à la Mécanique des Milieux Continus. Masson, Paris, 1995.
13. Hugot E., Ferrari M., El Hadi K., Vola P., Gimenaz J.-L., Lemaitre G.R., Rabou P., Dohlen K., Beuzit J.-L., Hubin N. Active Optics: stress polishing of toric mirrors for the Vlt Sphere adaptive optics system. Appl. Opt., 48 (2009), 2932–2941.
14. Hugot E., Ferrari M., El Hadi K., Costille A., Dohlen K., Pujet P., Beuzit J.-L. Active optics methods for exoplanet direct imaging. Stress polishing of supersmooth aspherics for VLT-SPHERE planet finder. Astron. Astrophys., 538 (2012), A139, 4 pp.
15. Lemaitre G.R. Active optics with a minimum number of actuators. Adv. Opt. Tech., 3:3 (2014), 223–249.

Gérard R. Lemaitre
Laboratoire d’Astrophysique de Marseille,
Marseille, France, EU
E-mail: gerard.lemaitre@lam.fr

DOI: https://doi.org/10.18262/ammp.2015.0101-07

УДК 539.3

Некоторые варианты уравнений микрополярных теорий оболочек

М.У. Никабадзе
Представлено Д.В. Георгиевским

Аннотация. Рассмотрены некоторые вопросы параметризации области оболочки при произвольной базовой поверхности. Исходя из трехмерных уравнений микрополярного деформируемого твердого тела, получены соответствующие уравнения микрополярных теорий оболочек, оболочек класса TS и призматических оболочек. В частности, выведены уравнения микрополярной (расширенной микрополярной) теории оболочек относительно тензоров усилий и моментов (тензоров усилий, моментов и моментов второго порядка). Эти уравнения, а также уравнения микрополярных теорий
оболочек класса TS и призматических оболочек получены относительно контравариантных  компонент указанных выше тензоров. Выведены граничные условия физического содержания.
Ключевые слова: микрополярная теория оболочек, расширенная микрополярная теория оболочек, тензор усилий, тензор моментов, тензор моментов второго порядка.

Список литературы
1. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. Наука, М., 1978.
2. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. Наука, М., 1982.
3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. Наука, М., 1980.
4. Никабадзе М.У., Улуханян А.Р. Постановки задач для тонкого деформируемого трехмерного тела. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика, 5 (2005), 43–49; англ. пер.: Nikabadze M.U., Ulukhanyan A.R. Formulations of problems for a deformable thin three-dimensional body. Moscow Univ. Mech. Bull., 60:5 (2005), 5–11.
5. Димитриенко Ю.И. Тензорое исчисление. Высш. шк., М., 2001.
6. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. В 4-х томах. T. 1: Тензорный анализ. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, М., 2011.
7. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. Изд-во МГУ, М., 1986.
8. Никабадзе М.У. О некоторых вопросах тензорного исчисления. I, Соврем. математика и ее прилож., 62 (2009), 67–95; англ. пер.: Nikabadze M.U. On some problems of tensor calculus. I. J. Math. Sci., 161:5 (2009), 668–697.
9. Никабадзе М.У. О некоторых вопросах тензорного исчисления. II. Соврем. математика и ее прилож., 62 (2009), 96–130; Nikabadze M.U. On some problems of tensor calculus. II. J. Math. Sci., 161:5 (2009), 698–733.
10. Никабадзе М.У. Некоторые вопросы тензорного исчисления с приложениями к механике. Деп. в ВИНИТИ РАН 05.08.13, №231-В2013, 242 с.
11. Амбарцумян С.А. Микрополярная теория оболочек и пластин. Изд-во НАН Армении, Ереван, 1999.
12. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des Corp Dcformablcs. Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, Paris, 1909.
13. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. 1. Foundation and solids. SpringerVerlag, New York, 1999.
14. Новацкий В. Теория упругости. Мир, М., 1975.
15. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. Наука, М., 1976.
16. Никабадзе М.У. Некоторые геометрические соотношения теории оболочек с двумя базовыми поверхностями. Изв. РАН. МТТ, 2000, № 4, 129–139.
17. Никабадзе М.У. К градиентам мест в теории оболочек с двумя базовыми поверхностями. Изв. РАН. МТТ, 2001, № 4, 80–90; англ. пер.: Nikabadze M.U.
Location gradients in the theory of shells with two basic surfaces. Mech. Solids, 36:4 (2001), 64–69.
18. Никабадзе М.У. Уравнения теории оболочек, согласованные с граничными условиями на лицевых поверхностях. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика, 2007, №3, 72–76; англ. пер.: Nikabadze M.U. Shell theory equations consistent with boundary conditions at face surfaces. Moscow Univ. Mech. Bull., 62:2 (2005), 59–63.
19. Саркисян С.О. Микрополярная теория тонких стержней, пластин и оболочек. Изв. НАН Армении. Механика, 58:2 (2005), 84–95.
20. Саркисян С.О., Варданян С.А. Асимптотический анализ уравнений и граничных условий термоупругости микрополярных тонких пластин. Изв. НАН Армении. Механика, 60:3 (2007), 64–76.
21. Саркисян С.О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости. ПММ, 72:1 (2008), 129–147.
22. Саркисян С.О. Общая теория упругих тонких оболочек на основе несимметричной теории упругости. Докл. НАН Армении, 108:4 (2008), 309–319.
23. Саркисян С.О. Прикладные одномерные теории балок на основе несимметричной теории упругости. Физическая мезомеханика, 11:5 (2008), 41–54.
24. Eringen A.C. Theory of micropolar plates. Zeitschrift f¨ur Angawandte Mathematik und Physik, 18:1 (1967), 12–30.
25. Никабадзе М.У. Метод ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. I. Деп. в ВИНИТИ РАН, 21.05.14, № 135-B2014, 278 с.
26. Никабадзе М.У. Метод ортогональных полиномов в механике микрополярных
и классических упругих тонких тел. II. Деп. в ВИНИТИ РАН, 21.05.14, № 136-B2014, 218 с.
27. Никабадзе М.У. Математическое моделирование деформирования многослойных тонких тел. Соврем. математика и ее прилож., 20 (2011), 40–74; англ. пер.: Nikabadze M.U. Mathematical Modeling of Multilayer Thin Body Deformation. J. Math. Sci., 187:3 (2012), 300–336.
28. Никабадзе М.У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. Изд-во Попечит. Совета мех.-мат. ф-та МГУ, М., 2014. 515 с.


МихаилУшангиевич Никабадзе
Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова
E-mail: munikabadze@yandex.ru

Some Variants of Micropolar Shell Theory Equations
M.U. Nikabadze
Abstract. Some questions of parameterization of a shell region for an arbitrary base surface are considered. Due to the three-dimensional equations of micropolar deformable solid, the corresponding equations of the micropolar theories of shells, TS class shells and prismatic shells are obtained. In particular, the equations of the micropolar (extended micropolar) theory of shells with respect to the force tensor and moment tensor (tensors of forces, moments and second order moments) are derived. In addition, these equations and
equations of micropolar shell theories of TS class and prismatic shells are obtained with respect to the contravariant components of the above tensors. The boundary conditions of the physical content are derived.
Keywords: micropolar shell theory, extended micropolar shell theory, force tensor, moment tensor, second order moment tensor.
MSC2010: 74K20, 74K25



DOI: https://doi.org/10.18262/ammp.2015.0101-08

0-Gaps on 3D Digital Curves

Angelo Maimone, Giorgio Nordo

Abstract. In digital geometry, gaps are some basic portion of a digital object that a discrete ray can cross without intersecting any voxel of the object itself. Such a notion is quite important in combinatorial image analysis and is strictly connected with some applications in fields as CAD and computer graphics. In this paper we prove that the number of 0-gaps of a 3D digital curve can be expressed as a linear combination of the number of its i-cells (i = 0, . . . , 3).
Keywords: digital geometry, digital curve, 0-gap, i-tandem, i-hub, adjacency relation, grid cell model, free cell.
MSC2010: Primary: 52C35; Secondary: 52C99

References
1. Brimkov V.E., Maimone A., Nordo G. An explicit formula for the number of tunnels in digital objects, arXiv:cs/0505084.
2. Brimkov V.E., Maimone A., Nordo G., Barneva R.P, Klette R. The number of gaps in binary pictures. Proceedings of the ISVC 2005 Lake Tahoe, NV, USA, December 5–7, 2005 (Eds.: Bebis G., Boyle R., Koracin D., Parvin B.), Lecture Notes in Computer Science, 3804 (2005), 35–42.
3. Brimkov V.E., Maimone A., Nordo G. Counting gaps in binary pictures. Proceedings of the 11th International Workshop, IWCIA 2006, Berlin, GERMANY, June 2006 (Eds.: Reulke R., Eckardt U., Flach B., Knauer U., Polthier K.), Lecture Notes in Computer Science, LNCS, 4040 (2006), 16–24.
4. Brimkov V.E., Nordo G., Maimone A., Barneva R.P. Genus and dimension of digital images and their time and space-efficient computation. Internat. J. Shape Modelling, 14 (2008), 147–168.
5. Maimone A., Nordo G. On 1-gaps in 3D digital objects. Filomat, 25 (2011), 85–91.
6. Maimone A., Nordo G. A formula for the number of (n−2)-gaps in digital n-objects. Filomat, 27 (2013), 547–557.
7. Maimone A., Nordo G. A note on dimension and gaps in digital geometry. Filomat, 29 (2015) (to appear).
8. Klette R., Rosenfeld A. Digital geometry – geometric methods for digital picture analysis. Morgan Kaufmann, San Francisco, 2004.
9. Kovalevsky V.A. Finite topology as applied to image analysis. Computer Vision, Graphics and Image Processing, 46:2 (1989), 141–161.
10. Knuth D. Two Notes on Notation. American Mathematics Montly, 99:5 (1992), 403–422.
11. Beth T., Jungnickel D., Lenz H. Design theory. V. I, II. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.


Angelo Maimone
Dipartimento di Matematica e Informatica,
Università degli Studi di Messina,
Sant’Agata–Messina, Italy
E-mail: angelomaimone@libero.it

Giorgio Nordo
Dipartimento di Matematica e Informatica,
Università degli Studi di Messina,
Sant’Agata–Messina, Italy
E-mail: giorgio.nordo@unime.it


DOI: https://doi.org/10.18262/ammp.2015.0101-09

УДК 524

Теория пятимерной тороидальной Гипервселенной

Р.В. Хачатуров
Представлено Дж. Нордо

Аннотация. Предложена математическая модель, которая объясняет наблюдаемый процесс ускоренного расширения Вселенной без помощи таких понятий, как “темная энергия” и “темная материя”. Определено понятие Гипервселенной. Обосновано предположение, что наша Вселенная представляет собой расширяющуюся (в настоящий момент с ускорением) трехмерную гиперповерхность четырехмерного шара (гиперсферу) радиусом около 10 млрд св. лет и объемом около 20000 (млрд св. лет)3, а Гипервселенная – вращающийся пятимерный тор. Получены периодические законы изменения скорости, ускорения и радиуса нашей Вселенной при ее движении по поверхности пятимерного тора Гипервселенной. Объяснено явление гравитации. В соответствии с теорией Гипервселенной, описанной в данной работе, никакого Большого взрыва не было, Вселенная не возникла из сингулярности и никогда в нее не сожмется, но и не расширится до бесконечности, а будет циклически расширяться и сжиматься в процессе ее движения вдоль поверхности пятимерного тора Гипервселенной.
Ключевые слова: космология, астрофизика, математическое моделирование, строение Вселенной, Гипервселенная.

Список литературы
1. Springel V., White S.D.M., Jenkins A. et al. Simulating the joint evolution of quasars, galaxies and their large-scale distribution, arXiv: astro-ph/0504097, 2015, 42 pp.
2. Хачатуров Р. В. Пятимерная модель Гипервселенной и возможные этапы освоения космического пространства. Тр. XXXV академических чтений по космонавтике, посвященных памяти С.П. Королева (Москва, январь 2011 г.). Комиссия РАН, М., 2011, 277–278.
3. Хачатуров Р.В. Математическая модель Гипервселенной и ее применение для оценки возможности освоения космического пространства. Гагаринский сбор- ник. Материалы XXXVIII Международных общественно-научных чтений, посвященных памяти Ю.А. Гагарина (Гагарин, 10–12 марта 2011 г). Научная книга, Воронеж, 2011, 282–288.
4. Хачатуров Р. В. Перспективы освоения космического пространства. Математическая модель Гипервселенной. Сб. науч. статей по материалам III международной науч. конф. “Фундаментальные проблемы системной безопасности и устойчивости”, посвященной 50-летию полета первого в мире космонавта Ю.А. Гагарина. Вузовская книга, M., 2011, 499–511.
5. Хачатуров Р. В. Объяснение ускоренного расширения Вселенной и гравитации на основании математической модели Гипервселенной. Гагаринский сборник. Материалы XXXIX Международных общественно-научных чтений, посвященных памятиЮ.А. Гагарина. Часть 2 (Гагарин, 2012 г.). Научная книга, Воронеж, 2013, 105–119.
6. Хачатуров Р. В. Прошлое и будущее нашей Вселенной с точки зрения математической модели Гипервселенной. Гагаринский сборник. Материалы XL Международных общественно-научных чтений, посвященных памяти Ю.А. Гагарина (Гагарин, 2013 г.). Научная книга, Воронеж, 2014, 305–331.
7. Хачатуров Р.В. Пятимерный тор Гипервселенной в трехмерном Времени. Гагаринский сборник. Материалы XLI Международных общественно-научных чтений, посвященных памяти Ю.А. Гагарина (Гагарин, 2014 г.). Научная книга, Воронеж, 2014, 352–377.
8. Will C.M. The Confrontation between General Relativity and Experiment. Living Rev. Relativity, 9 (2006), 3.
9. Anderson JD., Laing P.A., Lau E. L., Liu A. S., Nieto M.M., Turyshev S.G. Study of the anomalous acceleration of Pioneer 10 and 11. Phys. Rev. D, 65:8 (2002), 082004, 50 pp.
10. Riess A.G. et al. Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant. The Astronomical J., 116 (1998), 1009–1038.
11. Perlmutter S., Schmidt B.P. Measuring Cosmology with Supernovae. Lecture Notes in Physics, 598, Springer, Berlin, 2003, 195–217.
12. Riess A.G. et al. A 3% Solution: Determination of the Hubble Constant with the Hubble Space Telescope and Wide Field Camera 3. The Astrophysical J., 730:119 (2011), 18 pp.
13. Черный В. Г., Майорова В.И. Астрономия в космонавтике. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, М., 2008, 200 с.
14. Засов А.В., Кононович Э.В. Астрономия. Физматлит, М., 2008, 256 c.
15. Громов А.Н., Малиновский А.М. Вселенная. Полная биография. Эксмо, М., 2011, 416 с.
16. Новиков И.Д. Как взорвалась Вселенная. Терра, М., 2008, 272 c.
17. Бауров Ю.А. Бюон – шаг в будущее. МагистрПресс, М., 2007, 160 c.


Рубен Владимирович Хачатуров
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
E-mail: rv_khach@yahoo.ie

The Theory of Five-Dimensional Toroidal Hyperuniverse in Three-Dimensional Time
Ruben V. Khachaturov
Abstract. The presented in this paper mathematical model explains the observable process of the accelerated expansion of our Universe without the aid of such concepts as “dark energy” and “dark matter”. The term “Hyperuniverse” is defined. The assumption that our Universe is an expanding (currently with acceleration) three-dimensional hypersurface of a four-dimensional ball (i.e., it is a hypersphere) with radius of about 10 billion light years and volume of about 20000 (billion light years)3, and that the Hyperuniverse is a rotating five-dimensional torus, is substantiated. The periodic laws for acceleration, speed, and
value of the radius of our Universe during its motion over the surface of the five-dimensional torus of the Hyperuniverse were obtained. The phenomenon of gravitation is explained. According to the theory of Hyperuniverse, described in this paper, there was no Big Bang, the Universe did not appear from the singularity and will neither shrink into it nor expand to the infinity, but will cyclically expand and shrink during its motion along the surface of the five-dimensional torus of the Hyperuniverse.
Keywords: cosmology, astrophysics, mathematical modeling, structure of the Universe, Hyperuniverse.
MSC2010: 83Fxx


DOI: https://doi.org/10.18262/ammp.2015.0101-10

УДК 539.376

Одна оценка эволюции возмущений в нестационарных плоскопараллельных течениях Сен-Венана

Д.В. Георгиевский

Аннотация. Рассматривается развитие со временем возмущений, налагаемых на заданное нестационарное сдвиговое течение идеально жёсткопластического тела (или течение Сен-Венана) в плоском слое. На основе анализа квадратичных функционалов в H2 и соответствующих вариационных неравенств выводится оценка роста–затухания возмущений по интегральной мере. В оценивающую функцию входит зависящая от времени верхняя грань скорости деформации основного сдвига. Введение предела текучести в модель идеальной жидкости стабилизирует течение, однако в длинноволновом пределе данная стабилизация становится сколь угодно малой.
Ключевые слова: гидродинамическая устойчивость, линеаризованная задача о собственных значениях, возмущение, течение Сен-Венана, нестационарный сдвиг, метод интегральных соотношений.

Список литературы
1. Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. ИЛ, M., 1958; пер. с англ.: Lin C.C. The theory of hydrodynamic stability. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1955.
2. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. Мир, М., 1971; Betchov R., Criminale W.O. Stability of parallel flows. Academic Press, London–New York, 1967.
3. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Наука, Новосибирск, 1977.
4. Георгиевский Д. В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел. УРСС, М., 1998.
5. Козырев О.Р., Степанянц Ю.А. Метод интегральных соотношений в линейной теории гидродинамической устойчивости. Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа, 25, ВИНИТИ, M., 1991, 3–89.
6. Георгиевский Д.В. Вариационные оценки и метод интегральных соотношений в задачах устойчивости. Современная математика. Фундам. направления, 23, ВИНИТИ, M., 2007, 96–146.
7. Georgievskii D.V., M¨uller W.H., Abali B.E. Generalizations of the Orr–Sommerfeld problem for the case in which the unperturbed shear motion is nonsteady. Russian J. Math. Phys., 21:2 (2014), 189–196.


Дмитрий Владимирович Георгиевский
Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова
E-mail: georgiev@mech.math.msu.su

One Estimate for Evolution of Disturbances in Nonsteady Plane-Parallel Saint-Vénant Flows
D.V. Georgievskii
Abstract. An evolution by time of disturbances imposed on the given nonsteady shear flow of perfect rigid plastic solid (the Saint-Vénant flow) inside a plane layer is considered. The estimate of disturbances growth or decay by integral measure is derived on the basis of analysis of quadratic functionals in H2 and the corresponding variational inequalities. The estimating function involves the upper bound of strain rate in the nonperturbed shear which depends on time. Taking account of yield stress in the model of ideal liquid stabilizes a flow but this stabilization becomes arbitrarily small for long wavelength lim it.
Keywords: hydrodynamic stability, linearized eigenvalue problem, disturbance, the Saint-Vénant flow, nonsteady shear, the method of integral relations.
MSC2010: 76E05 
DOI: https://doi.org/10.18262/ammp.2015.0101-11

УДК 517.95

О решениях смешанной краевой задачи для бигармонического уравнения
О.А. Матевосян

Аннотация. Изучаются вопросы единственности решений смешанной краевой задачи Дирихле–Навье для бигармонического уравнения в неограничнных областях в предположении, что обобщенное решение этой задачи обладает конечным интегралом Дирихле с весом |x|a. В зависимости от значения параметра a доказаны теоремы единственности, а также найдены точные формулы для вычисления размерности пространства решений смешанной краевой задачи во внешних областях.
Ключевые слова: бигармонический оператор, весовой интеграл Дирихле, размерность пространства.

Список литературы
1. Кудрявцев Л.Д. Решение первой краевой задачи для самосопряженных и эллиптических уравнений в случае неограниченных областей. Изв. АН СССР. Сер. матем., 31:5 (1967), 354–366; англ. пер.: Kudryavtsev L.D. The solution of the first boundary value problem for self-adjoint elliptic equations in the case of unbounded region. Math. USSR-Izv., 1:5 (1967), 1131–1151.
2. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна. УМН, 43:5(263) (1988), 55–98; англ. пер.: Kondrat’ev V.A., Oleinik O.A. Boundary-value problems for the system of elasticity theory in unbounded domains. Korn’s inequalities. Russian Math. Surveys, 43:5 (1988), 65–119.
3. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Hardy’s and Korn’s inequality and their application. Rend. Mat. Appl. Serie VII, 10 (1990), 641–666.
4. Коньков А.А. О размерности пространства решений эллиптических систем в неограниченных областях. Матем. сб., 184:12 (1993), 23–52; англ. пер.: Kon’kov A.A. On the dimension of the solution space of elliptic systems in unbounded domains. Russian Acad. Sci. Sb. Math., 80:2 (1995), 411–434.
5. Олейник О.А., Кондратьев В.А., Копачек И. Об асимптотических свойствах решений бигармонического уравнения. Дифференц. уравнения, 17:10 (1981), 1886–1899.
6. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Estimates for solutions of the Dirichlet problem for biharmonic equation in a neighbourhood of an irregular boundary point and in a neighbourhood of infinity Saint-Venant’s principle. Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 93:3–4 (1983), 327–343.
7. Чичоян С.Ф. О поведении обобщенных решений задачи Дирихле для системы Навье-Стокса и системы Кармана в окрестности бесконечно удаленной точки. УМН, 41:2(248) (1986), 211–212; англ. пер.: Chichoyan S. F. On the behavior of generalized solutions of the Dirichlet problem for the Navier-Stokes system and the von Karmn system in a neighbourhood of the point at infinity. Russian Math. Surveys, 41:2 (1986), 193–194.
8. Леквеишвили Д.М. О поведении обобщенных решений смешанной задачи для бигармонического уравнения в окрестности бесконечности. Дифференц. уравнения и их прилож. Изд-во Моск. ун-та, М., 1984, 81–85.
9. Матевосян О.А. О единственности решения смешанной задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Совместные заседания семинара им. И. Г. Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики и ММО (16-я сессия, 18–21 января 1994 г.). УМН, 49:4(298) (1994), 129–130; англ. пер.: Matevosyan O.A. On uniqueness of solutions of the mixed boundary value problem for the system of elasticity theory in unbounded domains:
Joint sessions of the Petrovskii Seminar on Differential Equations and Mathematical Problems of Physics and of the Moscow Mathematical Society (16th session, 18–21 January, 1994). Russian Math. Surveys, 49:(4) (1994), 193–194.
10. Матевосян О.А. О решениях краевых задач для системы теории упругости и бигармонического уравнения в полупространстве. Дифференц. уравнения, 34:6 (1998), 806–811; англ. пер.: Matevosyan O.A. On solutions of boundary value problems for a system in the theory of elasticity and for the biharmonic equation in a half-space. Differential Equations, 34:6 (1998), 803–808.
11. Матевосян О.А. О решениях внешней задачи Дирихле для бигармонического уравнения с конечным весовым интегралом Дирихле. Матем. заметки, 70:3 (2001), 403–418; Matevosyan O.A. The Exterior Dirichlet Problem for the Biharmonic Equation: Solutions with Bounded Dirichlet Integral. Math. Notes, 70:3 (2001), 363–377.
12. Матевосян О.А. О решениях смешанных краевых задач для системы теории упругости в неограниченных областях. Изв. РАН. Сер. матем., 67:5 (2003), 49–82; англ. пер.: Matevossian H.A. On solutions of mixed boundary-value problems for the elasticity system in unbounded domains. Izv. Math., 67:5 (2003), 895–929.
13. Matevosyan O.A. On solutions of one boundary value problem for the polyharmonic equation in unbounded domains. Russian J. Math. Phys., 21:1 (2014), 130–132.
14. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Наука, М., 1988; англ. пер.: Sobolev S. L. Some applications of functional analysis in mathematical physics. AMS, Providence, RI, 1991.
15. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. On the behavior at infinity of solutions of elliptic systems with a finite energy integral. Arch. Ration. Mech. Anal., 99:1 (1987), 75–99.
16. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Наука, М., 1989; пер. с англ.: Gilbarg D., Trudinger N. Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, Berlin, 1977.
17. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. Высшая школа, М., 1977.


Овик А. Матевосян
Высшая школа науки: НИЛ “Фундаментальная и прикладная математика”;
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН
E-mail: hmatevossian@graduate.org

On Solutions of the Mixed Boundary Value Problem for the Biharmonic Equation in Exterior Domains
Hovik A. Matevossian
Abstract. We study the uniqueness problems for solutions of the mixed Dirichlet–Navier boundary value problem for the biharmonic equation in unbounded domains under the assumption that a generalized solution of this problem has a bounded Dirichlet integral with weight |x|a. Depending on the value of the parameter a, we prove uniqueness theorem and also present precise formulas to evaluate the dimension of the space of solutions of the mixed boundary value problem in the exterior of a compact set.
Keywords: biharmonic operator, weighted Dirichlet integral, dimension of the space.
MSC2010: 35G15, 35J35, 35J40

Скачать журнал

Возврат к списку